零空间计算器

在线零空间计算器可帮助您计算给定矩阵的空值和零值空间。空性和零空间（核）是线性代数中最常见的概念，主要用于识别不同属性之间的线性关系。当您代入矩阵的大小和值时，矩阵计算器使用的零空间会减少行梯形以提供逐步计算。

什么是空位？

零空间或内核是一个子空间，由映射到空间的零向量的所有向量组成。在具有 n 列的矩阵 A 的数学表示法中，这些是向量 v = （a₁， a₂， ...， an），其中 A ·v = 0

其中

0 是零向量，

（·） 表示矩阵乘法，即 x = （x，x， ...， x） 有 n 个坐标。

注意：

• 零向量始终位于零空间中。无论我们有什么矩阵，如果我们将其乘以零，我们将得到零。
• 矩阵的内核通常包含无限数量的元素。事实上，如果 （a₁， a₂， ...， an） 位于零空间中，则 （ax₁， ax₂， ...， axn） 对于每个实数 a 都是相同的。

好吧，矩阵中的零空间只是满足公式的元素的子空间。但是，在线 行列式计算器 允许您计算给定矩阵输入元素的行列式。

什么是无效性？

空性可以定义为给定矩阵的空空间中的向量数。矩阵 X 的零空间维数称为矩阵 X 的零值。属性之间的线性关系的数量由零空间的大小给出。零空间向量 Y 可用于识别这些线性关系。

如何找到矩阵的无效性？

您可以使用秩无效性定理来查找有效性。秩无效性定理有助于将数据矩阵的无效性与数据中属性的排名和数量联系起来。秩空性定理定义为 - 空性 X + 秩 X = X 的属性总数（即 X 中的列总数）

如何找到矩阵的零空间？

在尝试确定矩阵的无效性和核时，最重要的工具是高斯-乔丹消除。这是一种有用的算法，可以将给定矩阵转换为其约简行梯形。这个想法用于“破坏”尽可能多的矩阵元素。这些是：

• 交换矩阵的两行;
• 将字符串乘以非零常数;

这里的关键属性是原始矩阵及其简化行梯形具有相同的 null 和秩。由于其实用性，我们的零空间计算器基础可以向您展示去除高斯乔丹消除法后输入矩阵的样子。

示例1：

查找矩阵的空空间有 3 行和 4 列。

⌈ x₁ x₂ x₃ x₄ ⌉ | y₁ y₂ y₃ y₄ | ⌊ z₁ z₂ z₃ z₄ ⌋

第一步矩阵零空间计算器使用高斯乔丹消元法取第一行的第一个单元格 x₁（直到它为零），并通过原子行运算删除以下项目。我们将顶行的适当倍数与其他两行相加，得到以下矩阵：

⌈ x₁ x₂ x₃ x₄ ⌉ | 0 y₂ y₃ y₄ | ⌊ 0 z₂ z₃ z₄ ⌋

接下来，矩阵计算器的零空间类似于中间行。我们取 r₂（直到它为零）并使用它来删除它下面的条目。结果，我们得到了一个数组形式：

⌈ x₁ x₂ x₃ x₄ ⌉ | 0 y₂ y₃ y₄ | ⌊ 0 0 z₃ z₄ ⌋

现在是高斯乔丹消元法与其简化形式之间的区别：零空间基计算器将每一行除以该行中不等于 0 的第一个条目。这给出了：

⌈ 1 x₂ x₃ x₄ ⌉ | 0 1 y₃ y₄ | ⌊ 0 0 1 z₄ ⌋

在这里，我们经常结束算法，例如，当我们在数组中寻找列空间时。事实上，我们已经可以从我们拥有的矩阵中读取有用的信息。出现在每行的第一个非零项中的项称为前导项。在此示例中，它们位于四列中的第一列、第二列和第三列中。但是，为了找到零空间的基，我们将稍微修改矩阵。我们将再次使用基本的行操作，但这次我们将从下到上进行操作。首先，我们在第三行中使用 1 来删除它上面的条目。

⌈ 1 x₂ 0 x₄ ⌉ | 0 1 0 y₄ | ⌊ 0 0 0 1 z₄ ⌋

现在，我们对中间行的 1 执行相同的操作以破坏上层单元格。

⌈ 1 0 0 x₄ ⌉ | 0 1 0 y₄ | ⌊ 0 0 0 1 z₄ ⌋

毕竟，这是为我们提供零空间基础的矩阵。为了确定它，我们需要遵循一些简单的规则。如果矩阵中没有没有首字母缩写的列，则 null 空间是微不足道的。它的维数为 0，仅包含零向量。如果矩阵包含只有零的列，则基本向量 ek 是基的元素，即第 k 个坐标中具有 1 的向量，否则为零。但是，在线 Wronskian 计算器 将用于确定给定函数集的 wronskian。

示例2：

求矩阵的零空间：

[3 7 2 9 7 6 5 3 8 3 2 9 3 2 8 3]

溶液：

给定的矩阵为：

[3 7 2 9 7 6 5 3 8 3 2 9 3 2 8 3]

矩阵的约简行梯形：

[1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1]

要找到零空间，请求解矩阵方程：

[1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1] [x_1x_2x_3x_4] = [0 0 0 0]

零空间母亲的百人：

[0 0 0 0]

矩阵的空值为：0

零空间计算器如何工作？

在线零空间计算器可以通过以下步骤找到矩阵零空间的基数：

输入：

• 输入矩阵的行和列的大小，并替换所有字段中的给定值。
• 如果你想找到随机值矩阵的空空间，那么点击生成矩阵。
• 单击“计算空空间”按钮。

输出：

• 矩阵计算器的零空间找到矩阵的零空间与矩阵的约简行梯形的零空间的基础。

常见问题：

零空间的维数可以为零吗？

零空间始终包含零向量，但其他向量也可以存在。

矩阵的基础是什么？

在寻找矩阵的零空间的基时，我们从零空间中删除所有多余的列向量，并保持列向量线性独立。因此，基础只是所有线性独立向量的组合。

结论：

使用零空间计算器的在线基础来计算所有向量，这些向量通过给定的数组映射到零。通常，零空间有很多元素，所以计算所有向量基本上意味着计算零空间的基。